Pró Telma

Amor matemático
Num certo livro de Matemática, um quociente apaixonou-se por uma incógnita.
Ele, o quociente, produto de notável família de importantíssimos polinômios.
Ela, uma simples incógnita, de mesquinha equação literal. Oh! Que tremenda desigualdade. Mas como todos sabem o amor não tem limites e vai do mais infinito ao menos infinito.
Apaixonado, o quociente a olhou do vértice à base, sob todos os ângulos, agudos e obtusos. Era linda, uma figura ímpar e punha-se em evidência: olhar rombóide, boca trapezóide, seios esféricos num corpo cilíndrico de linhas senoidais.
- Quem és tu? Perguntou o quociente com olhar radical.
- Eu sou a raiz quadrada da soma do quadrado dos catetos, mas podes me chamar de Hipotenusa. Respondeu ela com expressão algébrica de quem ama.
Ele fez de sua vida uma paralela à dela, até que se encontraram no infinito. E se amaram ao quadrado da velocidade da luz, traçando ao sabor do momento e da paixão, retas e curvas nos jardins da quarta dimensão. Ele a amava e a recíproca era verdadeira. Adoravam-se nas mesmas razões e proporções no intervalo aberto da vida.
Três quadrantes depois, resolveram se casar. Traçaram planos para o futuro e todos desejaram felicidade integral. Os padrinhos foram o vetor e a bissetriz.
Tudo estava nos eixos. O amor crescia em progressão geométrica. Quando ela estava em suas coordenadas positivas, tiveram um par: o menino, em honra ao padrinho, chamou de Vetor; a menina, uma linda Abscissa. Ela sofreu duas operações.
Eram felizes até que, um dia, tudo se tornou uma constante. Foi aí que surgiu outro. Sim, outro. O máximo divisor comum, um freqüentador de círculos viciosos. O mínimo que o máximo ofereceu foi uma grandeza absoluta.
Ela sentiu-se imprópria, mas amava o Máximo. Sabedor desta regra de três, o quociente chamou-a de fração ordinária. Sentiu-se um denominador comum, resolveu aplicar a solução trivial: um ponto de descontinuidade na vida deles.
Quando os dois amantes estavam em colóquio amoroso, ele em termos menores e ela de combinação linear, chegou o quociente e num giro determinante, disparou o seu 45.
Ela foi transformada numa simples dízima periódica e foi para o espaço imaginário e ele, foi parar num intervalo fechado, onde a luz solar se via através de pequenas malhas quadráticas.

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)



Por Marcos Noé
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Conceitos geométricos primitivos

A Geometria Plana e a Geometria Espacial baseiam-se nos chamados conceitos geométricos primitivos. Define-se como conceito primitivo toda aquele que não admite definição, isto é, o conceito que é aceito por ser óbvio ou conveniente para uma determinada teoria. Normalmente, em Matemática, os conceitos primitivos servem de base para a construção de postulados (ou axiomas) que formarão, por sua vez, a estrutura lógica e formal da teoria.
Ao contrário do que se pensa, conceitos primitivos existem não somente em Matemática, mas em Física também. Exemplos desses conceitos são os conceitos de força e velocidade.
Aí vai alguns conceitos geométricos primitivos
1.Ponto: é o conceito geométrico primitivo fundamental. Euclides o definiu como "aquilo que não tem parte". Ou seja, para Euclides é o conceito de "parte", e não de "ponto", que é primitivo.
Imagine o ponto o menor que você puder. Diz-se que o ponto não tem dimensão (é adimensional), ou seja, ele é tão ínfimo quanto quisermos, e não faz sentido mencionar qualquer coisa sobre tamanho ou dimensão do ponto. A única propriedade do ponto é a localização.
Representa-se o ponto por uma letra maiúscula qualquer do alfabeto latino.
2.Reta: É uma linha infinita e que tem uma única direção. Uma reta é o caminho mais curto entre dois pontos quaisquer.
3.Plano: Você pode imaginá-lo como uma folha de papel infinita. Um plano é uma superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções.

Tipos de ângulos

Posição:
1.Colaterais: Estão no mesmo lado da transversal.
2.Alternos: Estão em lados diferentes da transversal e podem ser interna ou externa.

Classificação Geral

1.Correspondentes são os que estão do mesmo lado.(congruentes)
2.Alternos internos: Estão em lados diferentes da transversal, entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais
3.Alternos externos: Estão em lados diferentes da transversal, fora das paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais 4.Colaterais internos: Estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180°
4.Colaterais internos: Estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180°
5.Colaterais externos: Estão do mesmo lado da transversal, fora das paralelas, a soma dos ângulos é 180°

Ilustração de Ângulos

Por Danielle de Miranda

Equação biquadrada é uma equação de quarto grau, que para achar os valores de suas raízes é preciso transformá-la em uma equação de 2º grau.
Essa equação é escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx² + c = 0.

Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.

Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.

Para melhor compreensão, veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.

4x⁴ – 17x² + 4 = 0 → equação biquadrada

4(x²)2 – 17x² + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: x² = y, isso significa que onde for x² iremos colocar y.

4y² – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.

a = 4 b = -17 c = 4

∆ = b² – 4ac
∆ = (-17)² – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225

x = - b ± √∆
2a

x = -(-17) ± √225
2 . 4

x = 17 ± 15
8

x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
8

x” = 17 – 15 = 2 = 1
8 8 4

Essas são as raízes da equação 4y² – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x⁴ – 17x² + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x² = y.

Para x = 4
x² = y
x² = 4
x = √4
x = ± 2

Para x = 1
4
x² = y
x² = 1
4

y = ±1
2

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-2, -1, 1, 2}.
2 2

Veja links relacionados:

Brasil Escola - Resoluções de outras equações biquadradas

Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir:

Exemplo 1

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:

Substituindo o valor de x na 1ª equação:

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:

Para y = 3, temos:
x = y – 3
x = 3 – 3
x = 0

Par ordenado (0; 3)

Para y = –1, temos:
x = y – 3
x = –1 –3
x = –4

Par ordenado (–4; –1)


S = {(0; 3) e (–4; –1)}

Mundo Educação » Matemática » Equação » Sistema de Equações do 2º Grau

Observação:
1) Quando o índice da raiz for “2” não é necessário colocá-lo.
2) Se o índice da raiz for par e o radicando for negativo, não existe solução em R. O número será chamado de irreal ou imaginário.
3) Se o índice for ímpar, existe solução em R.

Podemos transformar uma raiz em uma potência ou vice-versa, utilizando a seguinte igualdade:
Observação:

Para efetuar o produto entre duas ou mais raízes com índices diferentes, deve-se encontrar o m.m.c. entre os índices, dividir o resultado do m.m.c. por cada
índice e multiplicar o resultado da divisão pelo expoente de cada radicando.

Como extrair a raiz quadrada de um número que não for quadrado perfeito.

Podemos calcular o resultado da raiz quadrada de um número, por aproximação. Basta que tenhamos o cuidado de raciocinar logicamente, diante da proposta matemática. Veja o exemplo abaixo:
Calcular a raiz quadrada de 35.

Matematicamente, escrevemos a expressão acima como: √35 . Inicialmente, verificamos na tabela dos quadrados perfeitos, quais os números que se aproximam de 35. Temos o número 5

( pois 5 x 5 = 25 ) e o número 6 ( pois 6 x 6 = 36 ). Por dedução sabemos que a raiz quadrada de 35 é um número natural que está entre os números 5 e 6! Para calcularmos POR APROXIMAÇÃO o resultado da raiz, vamos definir (por aproximação) um número decimal entre 5 e 6 : Escolhemos primeiramente o número 5,50, pois 5,50 x 5,50 = 30,25 .
Avaliamos o QUANTO O RESULTADO obtido está próximo do número pretendido (no caso é 35 ) e definimos o próximo número decimal: Como o resultado obtido foi abaixo de 35, vamos escolher um número decimal MAIOR que o primeiro escolhido, ou seja: 5,90. Multiplicaremos 5,90 por ele mesmo e comparamos o resultado com o número pretendido da raiz: 5,90 x 5,90 = 34,81
Como podemos perceber, o número agora obtido está MAIS próximo do número que está na raiz. Mas AINDA podemos fazer outras tentativas até que se obtenha o número MAIS APROXIMADO possível do número pretendido.

Desta vez, vamos escolher um número decimal com TRÊS casas decimais para multiplicarmos: 5,916 5,916 x 5,916 = 34, 999056
Desta vez, o resultado está MUITO PRÓXIMO do número que buscamos ( 35 ) o que nos leva a afirmar que a RAIZ QUADRADA APROXIMADA do número 35 é 5, 916.



Nilo Alberto Scheidmandel
Matemática 5ª série
Bibliografia:
CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre: Editora
Movimento, 1981.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008.

Olá queridinhos do 9ºano. Olha um exercicio gostosinho para revisão do nosso TJ. Confiram o gabarito. bjoks

Exercício 3: (UFCE) Simplificar a expressão:

Solução:

Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.

Exercício 4: Calcular o quociente:

Solução:

Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

Olá meus amados, já está chegando a hora . Que tal passearmos um pouquinho pelas equações fracionárias?

Segue dois endereços bem legais: / www.brasilescola.com/matematica

http://matematicarev.blogspot.com/2009/08/equacao-fracionaria.html

Aproveitem bastante, amores. Bjoks da pró

As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas. Segue um link com exemplos completos pra vc

Abraços e bons estudos!

http://www.exatas.mat.br/fracaoalg.htm

As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas.

Fonte(s):

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

1. Potenciação ou Radiciação

2. Multiplicação ou Divisão

3. Adição ou Subtração

Observações quanto à prioridade:

1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.