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Equação Biquadrada

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Por Danielle de Miranda

Equação biquadrada é uma equação de quarto grau, que para achar os valores de suas raízes é preciso transformá-la em uma equação de 2º grau.
Essa equação é escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx² + c = 0.

Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.

Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.

Para melhor compreensão, veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.

4x⁴– 17x² + 4 = 0 → equação biquadrada

4(x²)2 – 17x²+ 4 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: x² = y, isso significa que onde for x² iremos colocar y.

4y² – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.

a = 4 b = -17 c = 4

∆ = b²– 4ac
∆ = (-17)² – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225

x = - b ± √∆
2a

x = -(-17) ± √225
2 . 4

x = 17 ± 15
8

x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
8

x” = 17 – 15 = 2 = 1
8 8 4

Essas são as raízes da equação 4y² – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x⁴– 17x²+ 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x² = y.

Para x = 4
x² = y
x² = 4
x = √4
x = ± 2

Para x = 1
4
x² = y
x² = 1
4

y = ±1
2

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-2, -1, 1, 2}.
2 2

Veja links relacionados:

Brasil Escola - Resoluções de outras equações biquadradas

SISTEMA DE EQUAÇÃO

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Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir:

Exemplo 1

Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:
x + y = 6
x = 6 – y

Substituindo o valor de x na 1ª equação:

x² + y² = 20
(6 – y)² + y² = 20
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0
16 – 12y + 2y² = 0
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2)

y² – 6y + 8 = 0

∆ = b² – 4ac
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8
∆ = 36 – 32
∆ = 4

a = 1, b = –6 e c = 8

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:

Para y = 4, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 4
x = 2

Par ordenado (2; 4)

Para y = 2, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 2
x = 4

Par ordenado (4; 2)

S = {(2: 4) e (4; 2)}

Exemplo 2

Isolando x ou y na 2ª equação:
x – y = –3
x = y – 3

Substituindo o valor de x na 1ª equação:

x² + 2y² = 18
(y – 3)² + 2y² = 18
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3)

y² – 2y – 3 = 0

∆ = b² – 4ac
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16

a = 1, b = –2 e c = –3

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:

Para y = 3, temos:
x = y – 3
x = 3 – 3
x = 0

Par ordenado (0; 3)

Para y = –1, temos:
x = y – 3
x = –1 –3
x = –4

Par ordenado (–4; –1)

S = {(0; 3) e (–4; –1)}