Pró Telma

Por Danielle de Miranda

Equação biquadrada é uma equação de quarto grau, que para achar os valores de suas raízes é preciso transformá-la em uma equação de 2º grau.
Essa equação é escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx² + c = 0.

Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.

Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.

Para melhor compreensão, veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.

4x⁴ – 17x² + 4 = 0 → equação biquadrada

4(x²)2 – 17x² + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: x² = y, isso significa que onde for x² iremos colocar y.

4y² – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.

a = 4 b = -17 c = 4

∆ = b² – 4ac
∆ = (-17)² – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225

x = - b ± √∆
2a

x = -(-17) ± √225
2 . 4

x = 17 ± 15
8

x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
8

x” = 17 – 15 = 2 = 1
8 8 4

Essas são as raízes da equação 4y² – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x⁴ – 17x² + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x² = y.

Para x = 4
x² = y
x² = 4
x = √4
x = ± 2

Para x = 1
4
x² = y
x² = 1
4

y = ±1
2

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-2, -1, 1, 2}.
2 2

Veja links relacionados:

Brasil Escola - Resoluções de outras equações biquadradas

Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir:

Exemplo 1

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:

Substituindo o valor de x na 1ª equação:

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:

Para y = 3, temos:
x = y – 3
x = 3 – 3
x = 0

Par ordenado (0; 3)

Para y = –1, temos:
x = y – 3
x = –1 –3
x = –4

Par ordenado (–4; –1)


S = {(0; 3) e (–4; –1)}

Mundo Educação » Matemática » Equação » Sistema de Equações do 2º Grau

Observação:
1) Quando o índice da raiz for “2” não é necessário colocá-lo.
2) Se o índice da raiz for par e o radicando for negativo, não existe solução em R. O número será chamado de irreal ou imaginário.
3) Se o índice for ímpar, existe solução em R.

Podemos transformar uma raiz em uma potência ou vice-versa, utilizando a seguinte igualdade:
Observação:

Para efetuar o produto entre duas ou mais raízes com índices diferentes, deve-se encontrar o m.m.c. entre os índices, dividir o resultado do m.m.c. por cada
índice e multiplicar o resultado da divisão pelo expoente de cada radicando.

Como extrair a raiz quadrada de um número que não for quadrado perfeito.

Podemos calcular o resultado da raiz quadrada de um número, por aproximação. Basta que tenhamos o cuidado de raciocinar logicamente, diante da proposta matemática. Veja o exemplo abaixo:
Calcular a raiz quadrada de 35.

Matematicamente, escrevemos a expressão acima como: √35 . Inicialmente, verificamos na tabela dos quadrados perfeitos, quais os números que se aproximam de 35. Temos o número 5

( pois 5 x 5 = 25 ) e o número 6 ( pois 6 x 6 = 36 ). Por dedução sabemos que a raiz quadrada de 35 é um número natural que está entre os números 5 e 6! Para calcularmos POR APROXIMAÇÃO o resultado da raiz, vamos definir (por aproximação) um número decimal entre 5 e 6 : Escolhemos primeiramente o número 5,50, pois 5,50 x 5,50 = 30,25 .
Avaliamos o QUANTO O RESULTADO obtido está próximo do número pretendido (no caso é 35 ) e definimos o próximo número decimal: Como o resultado obtido foi abaixo de 35, vamos escolher um número decimal MAIOR que o primeiro escolhido, ou seja: 5,90. Multiplicaremos 5,90 por ele mesmo e comparamos o resultado com o número pretendido da raiz: 5,90 x 5,90 = 34,81
Como podemos perceber, o número agora obtido está MAIS próximo do número que está na raiz. Mas AINDA podemos fazer outras tentativas até que se obtenha o número MAIS APROXIMADO possível do número pretendido.

Desta vez, vamos escolher um número decimal com TRÊS casas decimais para multiplicarmos: 5,916 5,916 x 5,916 = 34, 999056
Desta vez, o resultado está MUITO PRÓXIMO do número que buscamos ( 35 ) o que nos leva a afirmar que a RAIZ QUADRADA APROXIMADA do número 35 é 5, 916.



Nilo Alberto Scheidmandel
Matemática 5ª série
Bibliografia:
CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre: Editora
Movimento, 1981.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008.

Olá queridinhos do 9ºano. Olha um exercicio gostosinho para revisão do nosso TJ. Confiram o gabarito. bjoks

Exercício 3: (UFCE) Simplificar a expressão:

Solução:

Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.

Exercício 4: Calcular o quociente:

Solução:

Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

Olá meus amados, já está chegando a hora . Que tal passearmos um pouquinho pelas equações fracionárias?

Segue dois endereços bem legais: / www.brasilescola.com/matematica

http://matematicarev.blogspot.com/2009/08/equacao-fracionaria.html

Aproveitem bastante, amores. Bjoks da pró

As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas. Segue um link com exemplos completos pra vc

Abraços e bons estudos!

http://www.exatas.mat.br/fracaoalg.htm

As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas.

Fonte(s):